Некоторые методические ошибки в преподавании математики. Примеры и анализ.

К сожалению, ошибки преподавателей в школе (в том числе и у репетиторов) случаются и довольно часто. И почти всегда остаются вне поля обсуждений и критики. В школе не на каждом уроке сидит квалифицированный методист, а репетитору приставить такого человека вообще невозможно. И каждый делает то, что считает нужным и зачастую то, что удобнее.

Чтобы обратить внимание преподавателей на неверные пути решения некоторых проблем учеников и предупредить возможные новые случаи разберем некоторые из них, которые встретились мне в то или иное время за годы моей практики.

Я вспоминаю свою учебу в МПГУ и такой предмет как «методика преподавания математики». С нами работали лучшие методисты кафедры и все как один, будто сговорившись задавали нам примерно один и тот же вопрос : знаете чем отличается опытный преподаватель от неопытного? Заканчивая занятие, неопытный педагог спрашивает у себя : не забыл ли я им что-нибудь еще сказать?. А опытный спрашивает : не сказал ли я им чего-нибудь лишнего?.

В начале своей работы я не придавал большого значения этой фразе, но со временем все больше и больше убеждался в ее истинности. Сейчас она как BIOS в компьютере – основа всему, главная прошивка, которая сдерживает постоянное желание выплеснуть на ученика весь набор своих знаний.
К сожалению не все преподаватели и репетиторы придерживаются этой заповеди и рождают тем самым массу методических ошибок, главным корнем которых является ПЕРЕОЦЕНКА уровня способностей и знаний ученика. Конечно, каждому хочется, чтобы его подопечный со всей строгостью и по всем законам «взрослой математики» мог излагать свои мысли, знал все термины, значки, кванторы, доказательства теорем, обоснование различных приемов решения и т. д.

В таком «порыве страсти» забывается то, что перед преподавателем (репетитором) ребенок, с ограниченными для запоминания ресурсами организма, с определенными навыками, с невысокой мотивацией и загруженностью другими предметами. Открываешь школьную тетрадь своего подопечного (ученика самой обычной школы) и видишь: большие объемы изучаемого, элементы теории пределов, строгие доказательства теорем, один раз даже видел исследования функций средствами второй производной, наклонные асимптоты, верхние границы, терминология или оформление не соответствующее месту изучаемого объекта в программе. Да, согласен термин «верхняя граница» есть в школьных учебниках, но это учебник Мордковича, рекомендованный для математических классов. Беда в том, что по нему часто учатся дети самой обычной школы, в которую учеников не отбирают. Огромное количество квадратных и фигурных скобок (смысл которых большинству не понятен), какие-то лишние требования по оформлению. В результате один или два ученика в классе что-то понимают, все остальные просто списывают с доски. Репетитор допускают несколько меньшее количество ошибок, поскольку ученик перед глазами, но и здесь мне попадались явные просчеты и безграмотность.

Все оплошности, изложенные ниже взяты из тетрадей моих учеников, некоторые были вскрыты в результаты моих расспросов (или после школьных занятий или после работы с предыдущим репетитором).Коллекция постоянно пополняется.

1) К ребенку в 5-ом классе пригласили умного дяденьку – преподавателя МГУ. В школе, по учебнику Виленкина проходили правило вычитания суммы из числа a – (b + c) = a – b –c и числа из суммы :
(a + b) - c=a + (b - c) и (a+b)-c = (a - c) +b

Не долго думая преподаватель ВУЗа ввел на занятии все подобные свойства действий с целым числами, со всеми комбинациями знаков, скобок. и порядком следования слагаемых
(a + b) – c = a + (b – c)
(a + b) – c = (a – c) + b
a – (b + c) = a – b –c
a – (b – c) = a – b + c
a + (b + c) = a + b + c
a + (b – c) = a + b – c
(a – b) – c = a – b – c
(a + b) – c = a + b – c
(a – b) + c = a – b + c
(a + b) + c = a + b + c


В добавок к тому, что это надо было выучить, тетрадь была исписана несколькими вариантами перестановки слагаемых. Со слов ученика, учитель объяснял, как убирать скобки, если стоит
знак + или - Это грубейшая методическая ошибка. Использование следующего материала программы вперед изучаемого. Объяснить откуда берутся такие свойства можно только в 6-ом классе, когда дети проходят «отрицательные числа», Даже если их дать без пояснений, то ребенок их просто не запомнит. Слишком много несвязной информации на него вываливается. А закрепить материал нечем (в учебнике есть только задания на первые 3 из них). Наспех составленные примеры самим преподавателем ВУЗа привели к появлению в конце этого безобразия зачеркнутого равенства 14 – (18 – 13)= 14 - 18 + 13. Когда, наконец, преподаватель понял, что он залез в отрицательные ( в то, что еще не проходили) числа пришлось отступить и поменять тему.
Некоторые репетиторы не понимают, что отступление от программы – это риск наступить на «методические грабли» искусственных ограничений на точные математические понятия. Также можно перегрузить ученика.

В результате время потрачено, в голове путаница…... Лучше бы вообще пропустил параграф. Но для этого надо знать, какие задачи в учебнике опираются на эти свойства. Количества обращений к этой слабой точке учебника Виленкина, ничтожно мало и практически не влияет на последовательность дальнейшего изложения материала. Тема с тремя правилами дается для того, чтобы удержать на какое то время внимание ученика на теме «буквенные выражения», расположенной впереди. Специально выбираются свойства, которые можно объяснить без помощи отрицательных чисел. Одновременно немного расширяется список доступных текстовых задач на уравнения, которые сложно решить в 5-ом классе без знания правила вычитания суммы из числа, например : На одной улице в 5 раз больше домов чем на другой. После того как на второй построили еще 6 домов, на ней стало на 34 дома меньше, чем на первой. Сколько было домов на каждой улице?»
Но количество таких задач или просто уравнений в учебнике Виленкина составляет менее 1% и Знал ли преподаватели ВУЗа такие тонкости????

Ни в коем случае нельзя заниматься обобщениями в таком возрасте до 14 лет (если только ученик не гений). Также, при работе со свойствами, нежелательно включать задания, в которых в одном примере на преобразования присутствуют несколько сложных конструкции с переменными (или даже хотя бы одно или два дополнительных слагаемых), например a-(b+c)+(c+d)-m. Если все-таки хочется вложить в ученика больше, чем спланировано по учебнику, то это надо делать очень аккуратно, с ребенком определенного уровня развития, предварительно его к этому подготавливая, постепенно переходя от чисел к буквам, наращивая количество слагаемых, сопровождая весь процесс соответствующими пояснениями на доступном ему языке. Потому что пятиклассник, как правило, еще не может мыслить интегрировано, принимая во внимание все возможные ситуации с числами, которые могут возникнуть. Он не еще не способен обобщать свойства и воспринимать математические объекты целостно. До 7-8 класса он с ними только знакомится. Каждый написанный знак, число или буква подвергаются смысловому анализу в его голове, расходуя ресурсы памяти и внимания с огромной скоростью.


2) В задачах на проценты в конце 5 го класса по Виленкину одна учительница требовала при нахождении, например, 30% от числа «a» требовала умножать на дробь 0,3 . Пятиклассники не решают задач на дроби с помощью действий с самой дробью. Это делается в 6-ом классе, когда все эти действия будут полностью изучены с соответствующими пояснениями к их применению. Очень трудно было объяснить 5-ти класснику почему при делении на сто и при умножении на 30 получается тоже самое что при умножении на 0,3 в столбик.

3) Открываю тетрадь слабой ученицы занимавшейся до меня с другим преподавателем в 10-ом классе по тригонометрии. Заголовок : Арккосинус и решение уравнений вида Cos x = a. Сразу бросается в гласа некая спешка. Слабому ученику эти темы лучше давать отдельно.Через тригонометрический круг удобно решать задачи и доказывать свойства, а вводить определение для арккосинуса лучше через график функции у=CosX. Так нагляднее. Ученик лучше усвоит определение обратной функции, увидит область определения и область значений. Можно стрелочками показать работу косинуса и обратными стрелками (выделяя их другим цветом) работу арккосинус. Ученику сразу бросится в глаза неоднозначность нахождения угла. Но графиков в тетради нет никаких вообще. Рукой преподавателя сделан рисунок тригонометрического круга, на оси косинусов отмечены несколько чисел. Перпендикулярно к оси косинусов проведены пунктирные линии до пересечения с окружностью и на ней поставлены значения arcos(1/2), arcos(2/3), arcos(-1/2), arcos (-2/3) . Далее идут непонятно откуда взятые формулы
arcсos(x)=П – arccos( - x)
arcсos( - x)= П – arccos( x)

Спрашивается : зачем же с них начинать и располагать их в таком порядке (доказывается вторая а не первая) для слабой ученицы? Первая вообще практически не применяется (только лишняя нагрузка на память). Откуда вдруг всплывает число «Пи»? Никаких радиусов в точки круга, никаких стрелочек обозначающих углы, никаких указаний на равные, смежные углы и даже нигде на самой окружности не обозначен сам угол П. Самое интересное, что после этих формул идет строгое определение арккосинуса. Это как же с этим понятием работать, если оно еще толком не введено, а уже используются и его обозначения и выписываются формулы. Ладно, думаю, просто записали позже. Такой прием встречается, но когда преподаватель понимает, что ученица слабая и для ее особенности восприятия важнее толково объяснить, чем в нужный момент записать. Но дальше по тетради, без всякой подготовительной работы идут задания, которые в той или иной степени вылезают за рамки школьной программ, например Cos(arcos(x+2)) = x^2. Более чем странный переход. Сочетание косинса с арккосинусом отдельно не отработано. Уравнение в принципе не сложное, но нельзя на него так быстро переключать внимание.
Далее по теме первого урока идет огромное количество примеров на вычисление арккосинуса причем значения вставляются готовые (табличные), без БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ этих свойств с углом П. В конце, без всякого объяснения, дается формула для решения тригонометрического уравнения x=+/-arccos ( a ) + 2Пk. (ни одного примера на нее не разобрано) с длинным списком номеров учебника в качестве домашнего задания. В результате ученица неверно решила ВСЕ уравнения из домашней работы.

В начале следующего занятия решено 2 простейших уравнения с выборкой корней из заданного промежутка (причем неясно как они выбирались) , одно уравнение на замену (иные виды по началу просто игнорировались, а вернулись к ним спустя 3 урока). Потом сразу же решались два базовых тригонометрических неравенства с косинусом (причем оба на одной окружности, с неподписанными и непонятно каким образом найденными в ответе границами дуг), одно не входящее в программу неравенство с заменой 3 (CosX )^2 – 4 Cos X > 4 и в конце указанное выше уравнение с комбинацией косинуса и арккосинуса. Один сумбур и бардак. Трудно такое комментировать. Какое вообще соответствие программе и уровню ученицы тут возможно?. Где постепенное увеличение трудности? Далее по тетради какие то неожиданные откаты к дробным алгебраическим уравнениям, потом возврат к тригонометрическим среди которых нет дробных. К чему тогда дроби? Потом натыкаюсь на две задачи с параметрами (не самыми легкими). Куда же еще и их? Естественно, в результате возникло еще большее непонимание. Когда я спросил: кто с тобой работал : она ответила : преподаватель какого-то ВУЗа, мама с ним договаривалась. Он еще что-то показывал на черновиках. Было не очень понятно, а эти листочки почти всегда забирал с собой.

Есть такая общая проблема. Репетиторы – совмещающие работу в ВУЗе с несистематическими занятиями со школьниками делают главную ошибку : демонстрируя работу своего математического аппарата проскакивают мимо того, что понятно и очевидно им, но не очевидно ученику.Это проявляется и в доказательствах, и в пояснениях, и в подборе системы упражнений.. Трудно после лекций по математическому анализу перестроится и давать материал удерживая в голове главную «прошивку» в соответствии с которой организовывать работу ученика не по принципу «давать то, что он не знает», а по принципу «максимум того, что уже пройдено» На каждом новом переходе, способе, понятию, с учетом его места в учебнике нужно отдельно останавливаться, поясняя сказанное простыми примерами, не загружающими лишние ячейки памяти. .Простые нюансы, которые могут сбить ученика нужно обязательно разбирать. Нигде в последнем примере не было решено ни одно уравнение вида Sin(X) + 1 = 0 . Сообразит ли подопечный как ему обойти невыгодную общую формулу? Сильный возможно . Слабый – точно НЕТ!

4) Моя ученица учится в начале 9-ом класса. В школе, в геометрической задаче на теорему синусов пришлось иметь дело с формулами приведения. Дети умеют работать только с ПОЛУОКРУЖНОСТЬЮ и углами до 180градусов. Еще нет радианного измерения углов, не знают что такое угол 2П, как его изобразить Преподаватель, забыв про возможные программные «грабли» решил напомнить откуда «ноги растут» …..В тетради нарисован весь тригонометрический круг, проставлены ВСЕ основные углы, и далее написаны формулы :
Sin(П – x) = Sin(x)
Sin(2П – x) = - Sin(x).

Только по одной такой ошибке методист имеет право поставить за урок двойку.

5) Тема построение графика квадратичной функции. Читаю в тетради план:

1) найдем нули функции по формуле корней квадратного уравнения
2) так как ветви параболы направлены вверх, построим график

Ребята, а где вершина параболы? Где таблица значений? Нам же потом учиться выявлять свойства графика функции. Встречаются случаи, когда детей заставляют обязательно вместе с вершиной и таблицей находить еще и нули. А если они иррациональные? А если их вообще нет?

Или наоборот, бывает, что преподаватель слишком загружает детей однотипными примерами с лишней писаниной. В теме «решение квадратных неравенств» приходилось читать целые сочинения
«введем функцию у=…, это квадратичная функция, ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, ее область определения такая то, ее область значений такая то, составим квадратное уравнение, найдем ее нули….» И все это в письменном виде, расходуя лишни силы на оформление. Зачем же в новой теме обрабатывать столько лишней информации? Вы сбиваете ребенка. Он не поймет, что вы от него хотите и во что ему надо вникать. Правильный подход - дать образец решения базового неравенства, без лишних ответвлений, записать его ОДИН РАЗ в ОТДЕЛЬНОЙ тетради, чтобы он на каждом уроке лежал перед глазами (я для этого всегда веду с учеником теоретическую тетрадь). Далее по этому образцу можно разбирать различные виды тех же самых квадратных неравенств (бросая мостики к плану) и объяснять, в каком случае какие коррекции этого алгоритма нужны. Тем самым, во первых, вы каждый раз акцентируете внимание на одном и том же объекте (и он хорошо запомнится через зрительную память), а во вторых научите ребенка работать в «нештатных» для него ситуациях (когда нулей нет, когда парабола касается оси, с различными знаками самого неравенства) . В этом случае сопоставление пунктов образца и текущих препятствий каждого нового примера заставит работать уже смысловую память, а временные показатели деятельности повлияют на устойчивость запоминания.

Некоторые преподаватели используют метод построения графика по большому количеству точек. В этом есть опасность также отвлечь слабого ученика от главного. Особенность расположения квадратичной функции в тетради ученика не позволяет находить для таблицы значений достаточного количества целочисленных абсцисс и ординат, а необходимость тратить время на вычисления значений может забрать все внимание слабого ученика и с какого то момента он может просто «зависнуть» . Не стоит формировать привычку строить график даже по семи точкам. Для демонстрации величины искривления линии достаточно всего трех таких. Поскольку у параболы две ветви (две кривые линии) и одна общая точка (в отличие от гиперболы), то точек нужно не 6 а 5. Эта понятная логика в работе с ассоциативной памятью крепко застревает в голове и не теряется со временем. Таблицу лучше составлять по пяти точкам. Некоторые читатели могут спросить: «как же показать, что графиком будет парабола? Соединить 5 точек можно по-разному». Отвечу так:
50 точек можно тоже продлить по-разному, только нарисовав их, вы выжмете все соки из слабого ученика. Это можно сделать ОДИН раз с семью / девятью точками, когда вы знакомите ученика и сами отмечаете все на рисунке. Если уровень ученика средний (высокий) то лучше всего использовать методику сдвигов начальной параболы. Ученик с низкими ресурсами организма легко может в ней запутаться. Но в силу особенностей его мышления у него вряд ли возникнет вопрос: почему мы ведем непрерывную линию через 3 построенные точки? Просто проведите линию сами и не надо больше ничего. Лучше закрепить на практике, чем много и долго объяснять.

6) Распространен прием оформления решения уравнений, с помощью совокупности других уравнений на которые распадается первоначальное (например при разложении на множители)

Sin2x + Sin(2x) Cos(3x - П/3) = 0

Разложим левую часть на множители и приравняем каждый множитель к нулю. Далее часто прибегают к такой форме записи



Ведется параллельное решение сразу двух уравнений, с разной «фазой» и некоторым отличием в содержании. Во-первых, не все понимают смысла квадратных скобок. Есть еще и фигурные. Надо вспоминать какая что означает. Во-вторых, внимание ученика распределяется на два объекта сразу. Это еще один отвлекающий фактор. Сильный ученик справится, а у слабого увеличится вероятность ошибки от невнимательности за счет переключения внимания.

Обычно количество уравнений равно двум. И ширины школьной тетради вполне хватает, чтобы в колонку, без всяких скобок, решать уравнения по отдельности. Слева одно, справа другое. Чтобы не забыть решить второе и не залезать в отведенную для него часть тетради лучше проводить вертикальную линию посередине. Такую же рекомендацию можно дать относительно уравнениям с заменой переменной.

7) Просматриваю старые тетради пришедшего ко мне очень слабого девятиклассника, который в прошлом году безуспешно занимался с другим репетитором. Помимо пропусков некоторых важных задач в глаза сразу бросилось недопустимое обозначение для функции. Написано f(x)= 6 / x. Символ f(x) вводится в начале 9-го класса (по Макарычеву). Вроде бы мелочь, но исчезает буква «у», и замедляется формирование четкой связи (которая должна появиться к 9-му классу) между значением функции и ординатой точки на плоскости. Естественно в голове связь отсутствовала.. В результате, к моему приходу, не усвоилось понятие «функция», ученик путался в том, где и что должно отмечаться на осях, что делать с полученными от вычислений числами и что находится в таблице значений. В 9-ом классе появление этого знака сопровождается специальными заданиями с его участием. Таких записей я в тетради не нашел.

8) Ученик изучает тригонометрию. Тема урока: формулы двойного угла. В тетради записано их доказательство и сразу же примеры использования в массивных дробно-тригонометрических кострукциях. Ученик еще не усвоил, что формулы применимы к любому буквенному выражению, стоящему под знаком синуса, а его уже загоняют в сложные условия, требующие больших ресурсов организма. Надо и за дробями следить, и старые формулы вспоминать, и параллельно открывать для себя целый букет вариантов применения каждой формулы. Даже сильному ученику будет сложно.
Репетитор должен обязательно отдельно продемонстрировать все возможные варианты переходов от левых частей формул к правым, потом от правых к левым, меняя расположение множителей, слагаемых, постепенно включая новые коэффициенты, дроби, скобки. Потом предлагать задания на два, три перехода в одном пример (не нагружая другими формулами),затем постепенно вводить действия и другие функции, мешающие распознать эти формулы. В последнем случае, в работе со слабым учеником, можно по началу даже не доводить преобразования до конца. Так легче научиться выявлять нужные формулы в большом количестве различных помех. Важна определенная последовательность в заданиях репетитора. И так на каждой уроке.

Заключение:

Рассмотрены только некоторые примеры репетиторских и преподавательских ошибок и недосмотров К сожалению, требования к размеру статьи, трудности с набором математического текста и рисунков не позволили мне остановится на многом из того, что накопилось почти за 20 лет работы репетитором по математике. Главная мысль, которую хотелось бы донести до родителей : глубина знаний репетитором предмета (особенно это относится к преподавателям ВУЗов), далеко не всегда определяет качество обучения.. Особенности построения учебников должны быть хорошо известны репетитору, чтобы наступить в процессе проведения и подготовки занятий на «методические грабли»

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике

Вернуться на предыдущую страницу